5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

（1）和角公式
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$
简记为 $S_{\alpha +\beta }$。

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$
简记为 $C_{\alpha +\beta }$。

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$
简记为 $T_{\alpha +\beta }$。

（2）差角公式
$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$
简记为 $S_{\alpha -\beta }$。

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$
简记为 $C_{\alpha -\beta }$。

$$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$
简记为 $T_{\alpha -\beta }$。

（3）倍角公式
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$
简记为 $S_{2\alpha }$。

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$
简记为 $C_{2\alpha }$。

$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$
简记为 $T_{2\alpha }$。

如果要求二倍角的余弦公式（$C_{2\alpha }$）中仅含 $\alpha$ 的正弦（余弦），那么又可得到：
$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$$
$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$
（这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。）

5.5.2 简单的三角恒等变换

（1）半角公式
$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$
$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$
$$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$$
符号由 $\frac{\alpha }{2}$ 所在象限决定。

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式。这是三角恒等变换的一个重要特点。