关于实数 $a$，$b$ 大小的比较，有以下基本事实：

如果 $a-b$ 是正数，那么 $a>b$；如果 $a-b$ 等于 $0$，那么 $a=b$；如果 $a-b$ 是负数，那么 $a<b$。

这个基本事实可以表示为
$$a>b⟺a-b>0$$
$$a=b⟺a-b=0$$
$$a<b⟺a-b<0$$

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 $0$ 的大小。

等式有下面的基本性质：

性质 1 如果 $a=b$，那么 $b=a$；
性质 2 如果 $a=b$，$b=c$，那么 $a=c$；
性质 3 如果 $a=b$，那么 $a\pm c=b\pm c$；
性质 4 如果 $a=b$，那么 $ac=bc$；
性质 5 如果 $a=b$，$c\ne 0$，那么 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。

可以发现，性质 1，2 反映了相关关系自身的特性，性质 3，4，5 是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。（运算中的不变性就是性质）

不等式有如下性质：

性质 1 如果 $a>b$，那么 $b<a$；如果 $b<a$，那么 $a>b$。即
$$a>b⟺b<a$$ 性质 2 如果 $a>b$，$b>c$，那么 $a>c$。即
$$a>b,b>c⟹a>c$$ 性质 3 如果 $a>b$，那么 $a+c>b+c$。
这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。由性质 3 可得，
$$a+b>c⟹a+b+(-b)>c+(-b)⟹a>c-b$$这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。

性质 4 如果 $a>b$，$c>0$，那么 $ac>bc$；如果 $a>b$，$c<0$，那么 $ac<bc$。 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 性质 5 如果 $a>b$，$c>d$，那么 $a+c>b+d$。 性质 6 如果 $a>b>0$，$c>d>0$，那么 $ac>bd$。 性质 7 如果 $a>b>0$，那么 $a^n>b^n$（$n\in \mathbb{N}$，$n\ge 2$）。