5.2.1 三角函数的概念

设 $\alpha$ 是一个任意角，$\alpha \in \mathbb{R}$，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x,y)$。
（1）把点 $P$ 的纵坐标 $y$ 叫做 $\alpha$ 的正弦函数（sine function），记作 $\sin \alpha$，即
$$y=\sin \alpha$$
（2）把点 $P$ 的横坐标 $x$ 叫做 $\alpha$ 的余弦函数（cosine function），记作 $\cos \alpha$，即
$$x=\cos \alpha$$
（3）把点 $P$ 的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做 $\alpha$ 的正切函数（tangent function），记作 $\tan \alpha$，即
$$\frac{y}{x}=\tan \alpha (x\ne 0)$$

正弦函数 $y=\sin x$，$x\in \mathbb{R}$；
余弦函数 $y=\cos x$，$x\in \mathbb{R}$；
正切函数 $y=\tan x$，$x\in \left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$。

只要知道角 $\alpha$ 终边上任意一点 $P$ 的坐标，就可以求得角 $\alpha$ 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随 $P$ 点位置的改变而改变。

终边相同的角的同一三角函数的值相等。
由此得 公式一：
$$\sin (\alpha +k\cdot 2\pi )=\sin \alpha$$
$$\cos (\alpha +k\cdot 2\pi )=\cos \alpha$$
$$\tan (\alpha +k\cdot 2\pi )=\tan \alpha$$
其中 $k\in \mathbb{Z}$。

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 $0\sim 2\pi$（或 $0\sim 360^{\circ }$）角的三角函数值。

5.2.2 同角三角函数的基本关系

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$
$$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$$

这表明，同一个角 $\alpha$ 的正弦、余弦的平方和等于 $1$，且商等于角 $\alpha$ 的正切。

另有
$$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$$