1.5.1 全称量词与存在量词

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“$\forall$”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。

通常，将含有变量 $x$ 的语句用 $p(x)$，$q(x)$，$r(x)$，$\cdots$ 表示，变量 $x$ 的取值范围用 $M$ 表示。那么，全称量词命题“对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”可用符号简记为
$$\forall x\in M,p(x)$$

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“$\exists$”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。

存在量词命题“存在 $M$ 中的元素 $x$，$p(x)$ 成立”可用符号简记为
$$\exists x\in M,p(x)$$

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可。也就是说，假定全称量词命题为“$\forall x\in M$，$p(x)$”，则它的否定为“并非 $\forall x\in M$，$p(x)$”，也就是“$\exists x\in M$，$p(x)$ 不成立”。通常，用符号“$\neg p(x)$”表示“$p(x)$ 不成立”。对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题：$\forall x\in M,p(x)$
它的否定：$\exists x\in M,\neg p(x)$

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。

一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。也就是说，假定存在量词命题为“$\exists x\in M$，$p(x)$”，则它的否定为“不存在 $x\in M$，使 $p(x)$ 成立”，也就是“$\forall x\in M$，$p(x)$ 不成立”。对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：

存在量词命题：$\exists x\in M,p(x)$
它的否定：$\forall x\in M,\neg p(x)$

也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。