4.3.1 对数的概念

一般地，如果 $a^x=N$（$a>0$，且 $a\ne 1$），那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数（logarithm），记作
$$x={\log }_{a}N$$
其中 $a$ 叫做对数的底数，$N$ 叫做真数。

通常，我们将以 $10$ 为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把 ${\log }_{10}N$ 记为 $\lg N$。
以 $e$ 为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把 ${\log }_{e}N$ 记为 $\ln N$。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当 $a>0$，$a\ne 1$ 时，$a^{{\log }_{a}N}=N$，${\log }_a(a^x)=x$。

由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和 $0$ 没有对数；
$${\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1$$

4.3.2 对数的运算

如果 $a>0$，且 $a\ne 1$，$M>0$，$N>0$，那么

（1）${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$；
（2）${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$；
（3）${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$（$n\in \mathbb{R}$）。

对数换底公式：
$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}(a>0,a\ne 1;b>0;c>0,c\ne 1)$$