1.4.1 充分条件与必要条件

一般地，“若 $p$，则 $q$” 为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作
$$p\Rightarrow q$$
并且说，$p$ 是 $q$ 的充分条件（sufficient condition），$q$ 是 $p$ 的必要条件（necessary condition）。（此时，如果 $q$ 不成立，则 $p$ 一定不成立。所以，$q$ 对于 $p$ 成立而言是必要的。）

如果 “若 $p$，则 $q$” 为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$，记作 $p\nRightarrow q$。此时，我们就说 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

我们说 $p$ 是 $q$ 的充分条件，是指由条件 $p$ 可以推出结论 $q$，但这并不意味着只能由这个条件 $p$ 能推出结论 $q$。一般来说，对给定结论 $q$，使得 $q$ 成立的条件 $p$ 是不唯一的。

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

一般地，要判断“若 $p$，则 $q$”形式的命题中 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，只需判断是否有“$p\Rightarrow q$”，即“若 $p$，则 $q$”是否为真命题。

我们说 $q$ 是 $p$ 的必要条件，是指以 $p$ 为条件可以推出结论 $q$，但这并不意味着由条件 $p$ 只能推出结论 $q$。一般来说，给定条件 $p$，由 $p$ 可以推出的结论 $q$ 是不唯一的。

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

1.4.2 充要条件

如果 “若 $p$，则 $q$” 和它的逆命题 “若 $q$，则 $p$” 均是真命题，即既有 $p\Rightarrow q$，又有 $q\Rightarrow p$，就记作
$$p\iff q$$
此时，$p$ 既是 $q$ 的充分条件，也是 $q$ 的必要条件，我们说 $p$ 是 $q$ 的充要条件（sufficient and necessary condition），简称为充要条件。显然，如果 $p$ 是 $q$ 的充要条件，那么 $q$ 也是 $p$ 的充要条件。

概括地说，如果 $p\iff q$，那么 $p$ 与 $q$ 互为充要条件。