5.1.1 任意角

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。

设角 $\alpha$ 由射线 $OA$ 绕端点 $O$ 旋转而成，角 $\beta$ 由射线 $O^{\prime }{A}^{\prime }$ 绕端点 $O^{\prime }$ 旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 $\alpha =\beta$。
设 $\alpha$，$\beta$ 是任意两个角。我们规定，把角 $\alpha$ 的终边旋转角 $\beta$，这时终边所对应的角是 $\alpha +\beta$。

我们引入任意角 $\alpha$ 的相反角的概念。如图 5.1-4，我们把射线 $OA$ 绕端点 $O$ 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角 $\alpha$ 的相反角记为 $-\alpha$。于是我们得到
$$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta )$$

通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。

所有与角 $\alpha$ 终边相同的角，连同角 $\alpha$ 在内，可构成一个集合
$$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$
即任一与角 $\alpha$ 终边相同的角，都可以表示成角 $\alpha$ 与整数个周角的和。

5.1.2 弧度制

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度（radian）的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度。
根据上述规定，在半径为 $r$ 的圆中，弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha$ rad，那么
$$|\alpha |=\frac{l}{r}$$

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 $0$。

针对角度与弧度的换算，有
$$360^{\circ }=2\pi \text{ rad},180^{\circ }=\pi \text{ rad}$$
$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}\approx 0.01745\text{ rad}$$
反过来有
$$1\text{ rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 57.30^{\circ }=57^{\circ }18^{\prime }$$

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 $\mathbf{R}$ 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。