3.1.1 函数的概念 一般地，设 $A$，$B$ 是非空的实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数（function），记作
$$y=f(x),x\in A$$
其中，$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域（domain）；与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)\mid x\in A\}$ 叫做函数的值域（range）。
显然，值域是集合 $B$ 的子集。

我们所熟悉的一次函数 $y=ax+b$（$a\ne 0$）的定义域是 $\mathbf{R}$，值域也是 $\mathbf{R}$，对应关系 $f$ 把 $\mathbf{R}$ 中的任意一个数 $x$，对应到 $\mathbf{R}$ 中唯一确定的数 $ax+b$（$a\ne 0$）。

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$）的定义域是 $\mathbf{R}$，值域是 $B$。当 $a>0$ 时，$B=\left\{y\mid y\ge \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}$；当 $a<0$ 时，$B=\left\{y\mid y\le \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}$，对应关系 $f$ 把 $\mathbf{R}$ 中的任意一个数 $x$，对应到 $B$ 中唯一确定的数 $a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$）。

研究函数时常会用到区间的概念。设 $a$，$b$ 是两个实数，而且 $a<b$。我们规定：

（1）满足不等式 $a\le x\le b$ 的实数 $x$ 的集合叫做闭区间，表示为 $[a,b]$；
（2）满足不等式 $a<x<b$ 的实数 $x$ 的集合叫做开区间，表示为 $(a,b)$；
（3）满足不等式 $a\le x<b$ 或 $a<x\le b$ 的实数 $x$ 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 $[a,b)$，$(a,b]$。

这里的实数 $a$ 与 $b$ 都叫做相应区间的端点。
这些区间的几何表示如表 3.1-2 所示。在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

实数集 $\mathbf{R}$ 可以用区间表示为 $(-\infty ,+\infty )$，“$\infty$”读作“无穷大”，“$-\infty$”读作“负无穷大”，“$+\infty$”读作“正无穷大”。
满足 $x\ge a$，$x>a$，$x\le b$，$x<b$ 的实数 $x$ 的集合，可以用区间分别表示为 $[a,+\infty )$，$(a,+\infty )$，$(-\infty ,b]$，$(-\infty ,b)$。这些区间的几何表示如表 3.1-3 所示。

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。

此外，函数 $u=t^2$，$t\in (-\infty ,+\infty )$，$x=y^2$，$y\in (-\infty ,+\infty )$ 与 $y=x^2$，$x\in (-\infty ,+\infty )$，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数。

3.1.2 函数的表示法

我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系。 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。