5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

正弦函数的图象叫做正弦曲线（sine curve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
点 $(0,0)$，$\left(\frac{\pi }{2},1\right)$，$(\pi ,0)$，$\left(\frac{3\pi }{2},-1\right)$，$(2\pi ,0)$ 在确定图象形状时起关键作用。

余弦函数 $y=\cos x$，$x\in \mathbb{R}$ 的图象叫做余弦曲线（cosine curve）。将正弦函数的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，就得到余弦函数的图象，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

（1）周期性
一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个非零常数 $T$，使得对每一个 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且
$$f(x+T)=f(x)$$
那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数（periodic function）。
如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的最小正周期。

根据上述定义，可得：
正弦函数是周期函数，$2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$ 且 $k\ne 0$）都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$。
余弦函数也是周期函数，$2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$ 且 $k\ne 0$）都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$。

（2）奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）单调性
正弦函数在每一个闭区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）上都单调递增，其值从 $-1$ 增大到 $1$；在每一个闭区间 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）上都单调递减，其值从 $1$ 减小到 $-1$。
余弦函数在每一个闭区间 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$（$k\in \mathbb{Z}$）上都单调递增，其值从 $-1$ 增大到 $1$；在每一个闭区间 $[2k\pi ,\pi +2k\pi ]$（$k\in \mathbb{Z}$）上都单调递减，其值从 $1$ 减小到 $-1$。

（4）最大值与最小值
正弦函数当且仅当 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）时取得最大值 $1$，当且仅当 $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）时取得最小值 $-1$。
余弦函数当且仅当 $x=2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）时取得最大值 $1$，当且仅当 $x=\pi +2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）时取得最小值 $-1$。

5.4.3 正切函数的性质与图象

（1）周期性
正切函数是周期函数，周期是 $\pi$。

（2）奇偶性
正切函数是奇函数。

正切函数为
$$y=\tan x,x\in \mathbb{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

正切曲线的图象

（3）单调性
正切函数在每一个区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$（$k\in \mathbb{Z}$）上都单调递增。

（4）值域
正切函数的值域是实数集 $\mathbf{R}$，既没有最大值，也没有最小值。